ではでは解答です。
まず第1問、球の問題。
7つの球が全て接していることに気付けば、球の中心を結ぶと中央の大きな球の中心で二つの三角錐が頂点で上下にくっついた形になることがわかります。上下対称になっていますので、下側の三角錐だけを見ると、
この三角錐の辺は二つの球の接点を通るので、その長さは接している二つの球の半径を足したもの、つまり、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣの長さは３＋２＝５、ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さは２＋２＝４となります。これよりこの立体をすっぽり入れられる円柱の直径は、（正三角形ＡＢＣの重心から頂点までの距離＋小さな球の半径２）×２、円柱の高さは、（この三角錐の高さ＋小さな球の半径２）×２とになります。全然きれいじゃない答えです (A^^;)
第２問は角の最大値の問題。
これは補助線に気付けばあっという間でした＾＾
∠ＡＰＢは線分ＡＢを通る円の円周角と考えられるので、できるだけこの円が小さければθは大きくなります。そこでＡ、Ｂを通り直線に接する円を描くと、その接点は（１，１）となり、Ｐがこの接点にあれば△ＡＢＰは直角二等辺三角形になり、θ＝４５度となります。また、Ｐがこの接点以外の直線上にあるときはこの円の外側になってしまうため、θは４５度より小さくなってしまいます。ということで、最大値はこの接点（１，１）にＰが来たときで、４５度。
実はもうひとつ数学の問題を書くのを忘れていました。今年の大阪府前期高校入試の図形問題です。
△ＡＢＦと△ＥＣＤは合同で、ＡＢとＣＤの交点Ｏはこの二つの三角形の外接円の中心、ＡＢとＣＤは並行です。このとき、弧ＡＦ：弧ＡＣ＝２：１となることを証明せよ。
翌日の新聞には中心角と円周角を使った解答が載っていました。でも、そんなものをもちださなくても簡単に証明できます。本番の入試でこんな解答を考える人はほとんどいないだろうなあ＾＾
