Nawshicaの自然とともに : パズル・数学

March 21, 201409:55

カテゴリ: パズル・数学

パズルの解答

３月はなんだかこのネタで終わりそうです (A^^;)

引き続きパズルの方の解答です。

まずは直角三角形の面積を３分の一にする問題。

これが元の形です。「頭の体操」に載っていた解答はこれ。

面積２の直角三角形を折り返す、というのがミソで、ボクもこの解答にたどり着いた時はすごいって思いました。たぶん中３の頃、受験勉強をするという名目で友達の家に泊まりに行って、深夜ラジオを聞いたりこういうのを二人で考えたりしていた時だったと思います。懐かしい^^

で、長らく深く考えもせずにこれが唯一の解答だと思い込んでいたところ・・・

これも解答では？　と、それも樹木関係！の友人から突きつけられて驚きました。確かに面積は３分の一になります。面積１の直角三角形の折り返しが元の直角三角形の斜辺を越えないかが微妙なところなのですが、ぎりぎり越えないことも確認しました。ｙ＝(-4/3)x+4 とｙ＝(3/4)x+1/4 の交点になりますので、斜辺ｙ＝(-3/4)x+3 のごくわずか下部になります。

さらにマッチ棒を４本動かしてもできるぞ！　という別解まで示していただき、仰天しました。

素晴しい！　もうこれ以外にはっきり３分の一になる動かし方がないかをもう一度じっくり検討してみましたが、解はこの３つしかないことも確認できました。

続いてもうひとつ、４×４数独の解答です。

対象性、反転、文字の置き換えなどで一致するものは全て同一とみなせば、わずかこの５パターンでおしまい！　驚きの結果でした。

最後に、前期高校入試の問題の解答です。

△ＡＢＦ≡△ＥＣＤより、ＡＦ＝ＥＤ、つまり弧ＡＦ＝弧ＥＤ

ＡＢとＣＥはいずれも直径なので、弧ＡＣ＝弧ＢＥ

ＡＢとＣＤは並行なので、弧ＡＣ＝弧ＢＤ

これより、弧ＡＦ＝２×弧ＡＣとなり、円周角も中心角も全く必要ありませんでした^^

さあて、そろそろ暖かくなってきたことだし、生物ネタに戻さなくっちゃ^^

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March 18, 201423:31

カテゴリ: パズル・数学

数学問題解答ともう１問

ではでは解答です。

まず第1問、球の問題。

7つの球が全て接していることに気付けば、球の中心を結ぶと中央の大きな球の中心で二つの三角錐が頂点で上下にくっついた形になることがわかります。上下対称になっていますので、下側の三角錐だけを見ると、

この三角錐の辺は二つの球の接点を通るので、その長さは接している二つの球の半径を足したもの、つまり、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣの長さは３＋２＝５、ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さは２＋２＝４となります。これよりこの立体をすっぽり入れられる円柱の直径は、（正三角形ＡＢＣの重心から頂点までの距離＋小さな球の半径２）×２、円柱の高さは、（この三角錐の高さ＋小さな球の半径２）×２とになります。全然きれいじゃない答えです (A^^;)

第２問は角の最大値の問題。

これは補助線に気付けばあっという間でした＾＾

∠ＡＰＢは線分ＡＢを通る円の円周角と考えられるので、できるだけこの円が小さければθは大きくなります。そこでＡ、Ｂを通り直線に接する円を描くと、その接点は（１，１）となり、Ｐがこの接点にあれば△ＡＢＰは直角二等辺三角形になり、θ＝４５度となります。また、Ｐがこの接点以外の直線上にあるときはこの円の外側になってしまうため、θは４５度より小さくなってしまいます。ということで、最大値はこの接点（１，１）にＰが来たときで、４５度。

実はもうひとつ数学の問題を書くのを忘れていました。今年の大阪府前期高校入試の図形問題です。

△ＡＢＦと△ＥＣＤは合同で、ＡＢとＣＤの交点Ｏはこの二つの三角形の外接円の中心、ＡＢとＣＤは並行です。このとき、弧ＡＦ：弧ＡＣ＝２：１となることを証明せよ。

翌日の新聞には中心角と円周角を使った解答が載っていました。でも、そんなものをもちださなくても簡単に証明できます。本番の入試でこんな解答を考える人はほとんどいないだろうなあ＾＾

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March 12, 201400:09

カテゴリ: パズル・数学

数学パズル・４×４数独

数学がらみ第２弾です。

前回の問題に気をよくして、今度はマッチ棒クイズをＭＬに出題しました。たぶんこれは多湖輝さんの「頭の体操」というパズルの本に収録されていた問題だと思います。

マッチ棒１２本で上のような直角三角形が作られています。１本のマッチ棒の長さが１だとすると、面積は６になります。このマッチ棒のうち、５本を動かして一つの閉じられた形を作り、その面積を３分の１、つまり２にするには、どのマッチ棒をどう動かせばいいか、という問題です。もちろん、マッチ棒クイズの決まりごと、マッチ棒を折ったり、重ねたり、はみ出して使うことは禁止です。全てのマッチ棒を使って一つの閉じられた図形を作らなければいけません。

この問題を初めて見たのはボクが中学３年の頃だったと思います。友達と二人でああでもないこうでもないと考え、苦労してやっと解を見つけたときはとても嬉しかったのを覚えています。それ以来この解答は唯一つだけだと思っていたのですが・・・

ＭＬに出題してみてびっくりしました。樹木関係の知り合いの北摂人さんが、あっという間にもうひとつ別解を見つけてくれました。さらに、驚くべきことに４本動かして同様に面積を３分の一にすることができることも示してくれました。解がたった一つしかないと思い込んでいたボクが恥ずかしくなりました (A^^;) 　何でも思い込みは禁物です。そこで、さらに別解がないか調べてみたところ、誰が見ても納得のできる解はこの３つしかないこともわかりました。

そろそろオリジナル問題も出題しなければ、と思い、次は数独（ナンバープレース）に関する出題です。

数独は普通３×３の９個の正方形のマスが縦横３つずつ並べて９×９の正方形ができていて、、どの３×３の９個のマスの中にも１～９までの数字が全て入り、どの縦や横の９個の正方形の並びも１～９までの数字が全て入るようにする、というものです。この解析はなかなかたいへんですが、これを２×２のマスを縦横２つずつ並べて４×４の正方形で１～４の数字を入れる、と考えるとぐっと楽になります。

この４×４数独もけっこう調べられているようで、数字の入れ方は全部で２８８通りだということも知られているようですが、数字を互いに入れ替えると一致するものや、回転や線対称移動で一致するものは全て同一と考えれば、実はもっともっと少ない種類しかないことがわかりました。

ちょうどこんな感じです。ａ、ｂ、ｃ、ｄに１～４のどの数字を当てはめるかは自由、つまりどの数字を当てはめたとしてもそれらは全て１種類と考えてください。調べてみると、・・・　種類（パターン）数は驚くべきことにわずか一桁でした＾＾　さて、この４×４数独の基本的な種類（パターン）数は？

きっとこれも誰かが調べてるだろうと思って少しググって見ましたが、これを追求したサイトは見つかりませんでした。

では、みなさん、挑戦してみてください＾＾

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March 11, 201422:03

カテゴリ: パズル・数学

数学の問題

今月もなかなか更新が滞っています。

今回はちょっと今までにないネタで攻めてみたりして＾＾　自然関係と思った人はがっかりされちゃうかなあ (A^^;) 　生き物だけでなく、数学の入試問題やパズル、素粒子論や宇宙論のネタなんかも大好きなんです、実は＾＾

さて今回は、某ＭＬで知り合いから数学の質問をされたことが発端です。なんでも、息子さんが高校受験の勉強をしていて、難しくてわからなかったので、ということでした。難関校で有名なＮ校の入試問題？？だとか。

小さな球は直径２ｃｍ、大きい球は直径３ｃｍで、小さい球３つは互いにくっついていて、それを床に置き、その上に大きい球を乗せ、さらにその上に小さな球３つをくっつけたものを水平に置いた形です。これがすっぽり入る円柱の直径と高さを求めよ、というのが問題です。

直径に関しては即答でしたが、高さはちょっと考えました。みなさんはいかがでしょうか？　答えは残念ながら全然きれいな数字ではありませんでした。

数年前には、こんな問題もありました。これは某Ｋ大学入試問題＾＾

斜めの直線はＹ＝Ｘ　この上に動点Ｐがあるとき、∠ＡＰＢの最大値と、そのときのＰの位置を求めよ。

これが問題です。出題の翌日発表された解答は三角関数を使ったもので、難問として扱われていました。実際に正答率はとても低かったようです。でも・・・

この問題、５分ほど眺めていて、中学生でも一目でわかる解答に気付きました。

さて、最初の問題はちゃんと計算をしないといけない問題、二つ目は、発想（ひらめき）で答え一発です＾＾　挑戦してみてください。

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